Orientação Técnica para Professores de Matemática
EXPERIÊNCIAS MATEMÁTICAS
31/03/2016
“A generalização do acesso à informação midiática tende a transformar o indivíduo em um ser mais racional e menos intuitivo, isto é, mais reflexivo”.
A apropriação da Matemática pelo aluno não pode restringir-se apenas ao conhecimento formal de definições, de resultados e técnicas, ou até mesmo, de demonstrações. Pensando nisso, é necessário que os conhecimentos tenham significado para ele, a partir de questões que lhes são colocadas, que saiba utilizá-las para resolver problemas, que desenvolva a capacidade de investigação e perseverança na busca de resultados, que reconheça que pode haver diversas formas de resolução para uma mesma situação-problema e valorize os diversos recursos, tecnológicos ou não, como meios para a aprendizagem.
Assim, ao planejar as ações para as oficinas denominadas Experiências Matemáticas recomenda-se adotar tais princípios ao organizar, selecionar e elaborar as atividades a serem desenvolvidas.
Objetivos
• Discutir um formato de ensino aprendizagem que fomente as narrativas em matemática;
• Propor uma sequência de trabalho que permita e incentive o aluno a agir também intuitivamente;
• Expressar o conhecimento matemático como algo a ser construído e não como ciência pronta e acabada;
• Teorizar com base em fundamentação teórica o que é experiência matemática;
• Utilizar a história como fonte de reflexão para justificar o uso da intuição. (história de Faraday e Maxuel).
Atividade 1 – Leitura de Fruição
Atividade 2 – As oficinas de “Experiências Matemáticas” visam atuações mais dinâmicas do aluno diante do aprender matemática. Pensando nisso e nas atividades desenvolvidas em sua Unidade Escolar, responda as seguintes questões:
Um experimento deve ser um instrumento metodológico para construir o conhecimento. Para realizá-lo é preciso que o indivíduo vivencie o processo de encontrar fatos por meio da investigação, dedução, inferência, chegando assim aos seus princípios.
O procedimento metodológico mais fundamental da pesquisa é o questionamento reconstrutivo.
“O questionamento reconstrutivo envolve saber procurar material, interpretar e formular, pois para que seja superada a educação pela imitação é preciso aprender a aprender e esta se caracteriza pelo contraler, reelaborando a argumentação; refazer com linguagem própria, interpretar com autonomia; reescrever criticamente; elaborar texto próprio, experiência própria, formular proposta e contraproposta”.
Melhorar a aprendizagem do conteúdo científico.
a. Estimular a observação acurada e o registro cuidadoso dos dados;
b. Desenvolver habilidades manipulativas;
c. Treinar em resolução de problemas;
d. Verificar fatos e princípios estudados anteriormente;
e. Vivenciar o processo de encontrar fatos por meio da investigação, chegando a seus princípios;
f. Tornar os fenômenos mais reais por meio da experiência.
Atividade 3 – Leitura do texto - Pressupostos teóricos sobre a experimentação
Trecho Do Artigo “Objetivos Das Atividades Experimentais No Ensino Médio: A Pesquisa Coletiva Como Modo De Formação De Professores De Ciências” de Maria do Carmo Galiazzi, Jusseli Maria de Barros, Rocha, Luiz Carlos Schmitz, Moacir Langoni de Souza, Sérgio Giesta e Fábio Peres Gonçalves.
Após a leitura do texto, retomar as perguntas da atividade anterior e reponde-las a partir do seu estudo.
Atividade 4 – Fazendo Estimativas
A estimativa é o recurso utilizado para se chegar a um valor aproximado, através do cálculo mental ou da observação. No dia a dia, são muito frequentes as situações em que não há necessidade de se saber o resultado exato de uma operação, pois apenas precisamos ter uma noção de determinado valor. Portanto, uma boa estimativa é aquele valor que mais se aproxima do valor real, podendo se considerar uma pequena margem de erro (Ɛ).
I. Lançando Moedas
A expressão Cara ou Coroa, tem a ver com as antigas moedas portuguesas, que numa face tinham uma cara e na outra uma coroa. Nestas antigas moedas, a cara representava o valor da moeda, enquanto a coroa fazia menção à Coroa portuguesa. Assim, hoje, continuamos a considerar cara o valor nominal da moeda; enquanto coroa, a outra face — geralmente contendo um brasão ou simbologias diversas sobre o país de origem, ou até mesmo um rosto. Como as moedas de Real têm uma cara em um dos lados, no Brasil é mais comum chamar este lado de cara e o lado que mostra o valor da moeda de coroa.
Então, com uma moeda em mãos, registrar na tabela abaixo os resultados dos lançamentos solicitados.
Etapas Lançamentos Quantidade de cara Quantidade de coroa Relação entre o número de cara
2º 10
3º 50
4º 100
a) A partir dos resultados obtidos, determine a relação entre o número da quantidade de “cara” pelo número de lançamentos realizados.
b) O que podemos constatar?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Frequência relativa
Consideramos o experimento que consiste em lançar uma mesma moeda n vezes.
Seja m o número de vezes em que ocorre cara.
Definimos frequência relativa do evento cara como sendo:
Notamos que
Se aumentarmos o número de tentativas do experimento, a f(c) tende a se estabilizar em torno de ½ . Graficamente como isso pode ser representado?
Este fato é muito importante, pois quando dissermos que a probabilidade de um evento A é p(A), estamos dizendo que para um número bastante expressivo de tentativa de um experimento, a f(A) tende a se estabilizar em torno de P(A).
II. Estimando quantidades
Com um pote contendo uma coleção de objetos previamente contados, circule pela sala de aula ou pela escola coletando o maior número de estimativas possíveis.
Procedimento:
1) Após escolher uma coleção de objetos (exemplo: bolinhas de gude, macarrão, moedas, balas entre outros), colocar em um pote transparente, contar e conferir a quantidade nele colocada.
2) Lacrar o pote e circular pela sala e questionar individualmente “qual a quantidade de objetos no pote”.
3) Anotar sistematicamente ou distribuir filipetas para que cada participante escreva a quantidade que estimou.
4) Após dos dados coletados:
a) Fazer a somatória destes dados.
b) Dividir pela quantidade de entrevistados.
5) Com base nesse resultado encontrado responder:
a) Com todas as estimativas listadas e o resultado encontrado no item anterior faça um ranking dos três valores que mais se aproximam da quantidade previamente encontrada pelo grupo.
b) Esse experimento pode servir para fundamentar algum conteúdo matemático?
Somatória, média aritmética, cálculos de estimativa, frequência relativa, estatística.
Médias
Média aritmética: um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro.
x – m = m – y → mA = x + y
Média Geométrica: um número é a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual a do primeiro para o segundo.
x/m = m/ y → mG = √xy
Média Harmônica: um número é a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual a quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro.
x –m = m - y → mH = 2x y
x y x + y
A ordenação entre as médias citadas acima é:
mH ≤ mG ≤ mA
Para refletir:
Se compararmos este experimento com o experimento anterior podemos intuitivamente fazer alguma conclusão? Se a resposta for afirmativa, justifique a resposta.
Ambos os experimentos, mesmo sendo completamente diferentes, contribuem para o desenvolvimento do conceito de frequência relativa.
Conclusão
Considerando que um experimento possa dar “certo” ou “errado”, ou seja, se ao final não conseguimos concluir o que havíamos planejado, é importante considerar a possibilidade de retomar ou mesmo dar a continuidade ao experimento, nesse caso, com um grupo maior, para que possa encontrar uma quantidade que seja ideal para estabilizar em torno do resultado esperado.
Sugerir um registro da realização do experimento e uma avaliação.
Na escola, o professor poderá realizar as atividades em grupo, em que cada grupo poderá ter o seu pote, com os seus objetos e fazer uma comparação.
Referencial Bibliográfico
CACHAPUZ, António; GIL-PEREZ, Daniel; CARVALHO, Anna Maria Pessoa de. A necessária renovação do ensino das ciências. São Paulo: Editora Cortez, 2005.
GALIAZZI, Maria do Carmo; ROCHA, Jusseli Maria de Barros; SCHMITZ, Luiz Carlos. Objetivos das atividades experimentais no ensino médio: a pesquisa coletiva como modo de formação de professores de ciências. Ciência & Educação, São Paulo, v. 7, n. 2, p.249-263, 2001.
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica: Probabilidade. 3. ed. São Paulo: LTCE, 1983.
SOUSA, Raquel Cupolillo Simões de; Portal do Professor. Lançando Moedas e Explorando a Árvore das Possibilidades da Ocorrência de Cara ou de. 2011. Disponível em:. Acesso em: 09 mar. 2016.
TV, Univesp. Matemática - Aula 3 - Médias para todos os fins: significado, relações, propriedades. 2014. Disponível em:. Acesso em: 28 mar. 2016.
EXPERIÊNCIAS MATEMÁTICAS
31/03/2016
“A generalização do acesso à informação midiática tende a transformar o indivíduo em um ser mais racional e menos intuitivo, isto é, mais reflexivo”.
Maria Luiza Belonni
ContextualizaçãoA apropriação da Matemática pelo aluno não pode restringir-se apenas ao conhecimento formal de definições, de resultados e técnicas, ou até mesmo, de demonstrações. Pensando nisso, é necessário que os conhecimentos tenham significado para ele, a partir de questões que lhes são colocadas, que saiba utilizá-las para resolver problemas, que desenvolva a capacidade de investigação e perseverança na busca de resultados, que reconheça que pode haver diversas formas de resolução para uma mesma situação-problema e valorize os diversos recursos, tecnológicos ou não, como meios para a aprendizagem.
Assim, ao planejar as ações para as oficinas denominadas Experiências Matemáticas recomenda-se adotar tais princípios ao organizar, selecionar e elaborar as atividades a serem desenvolvidas.
Objetivos
• Discutir um formato de ensino aprendizagem que fomente as narrativas em matemática;
• Propor uma sequência de trabalho que permita e incentive o aluno a agir também intuitivamente;
• Expressar o conhecimento matemático como algo a ser construído e não como ciência pronta e acabada;
• Teorizar com base em fundamentação teórica o que é experiência matemática;
• Utilizar a história como fonte de reflexão para justificar o uso da intuição. (história de Faraday e Maxuel).
Atividade 1 – Leitura de Fruição
Atividade 2 – As oficinas de “Experiências Matemáticas” visam atuações mais dinâmicas do aluno diante do aprender matemática. Pensando nisso e nas atividades desenvolvidas em sua Unidade Escolar, responda as seguintes questões:
- ) O que é e como realizar um experimento na educação básica?
Um experimento deve ser um instrumento metodológico para construir o conhecimento. Para realizá-lo é preciso que o indivíduo vivencie o processo de encontrar fatos por meio da investigação, dedução, inferência, chegando assim aos seus princípios.
- 1) Que concepção de ensino/aprendizagem é privilegiada nesta estratégia de ensino, ou seja, o experimento?
O procedimento metodológico mais fundamental da pesquisa é o questionamento reconstrutivo.
“O questionamento reconstrutivo envolve saber procurar material, interpretar e formular, pois para que seja superada a educação pela imitação é preciso aprender a aprender e esta se caracteriza pelo contraler, reelaborando a argumentação; refazer com linguagem própria, interpretar com autonomia; reescrever criticamente; elaborar texto próprio, experiência própria, formular proposta e contraproposta”.
- 2) Ao prepararmos o(s) projeto(s) para oficina de experiências matemáticas o que devemos priorizar, ou seja, qual deve ser o objetivo principal?
Melhorar a aprendizagem do conteúdo científico.
- 3) Liste algumas habilidades que considere imprescindível para que o aluno caminhe ao encontro do resultado esperado.
a. Estimular a observação acurada e o registro cuidadoso dos dados;
b. Desenvolver habilidades manipulativas;
c. Treinar em resolução de problemas;
d. Verificar fatos e princípios estudados anteriormente;
e. Vivenciar o processo de encontrar fatos por meio da investigação, chegando a seus princípios;
f. Tornar os fenômenos mais reais por meio da experiência.
Atividade 3 – Leitura do texto - Pressupostos teóricos sobre a experimentação
Trecho Do Artigo “Objetivos Das Atividades Experimentais No Ensino Médio: A Pesquisa Coletiva Como Modo De Formação De Professores De Ciências” de Maria do Carmo Galiazzi, Jusseli Maria de Barros, Rocha, Luiz Carlos Schmitz, Moacir Langoni de Souza, Sérgio Giesta e Fábio Peres Gonçalves.
Após a leitura do texto, retomar as perguntas da atividade anterior e reponde-las a partir do seu estudo.
Atividade 4 – Fazendo Estimativas
A estimativa é o recurso utilizado para se chegar a um valor aproximado, através do cálculo mental ou da observação. No dia a dia, são muito frequentes as situações em que não há necessidade de se saber o resultado exato de uma operação, pois apenas precisamos ter uma noção de determinado valor. Portanto, uma boa estimativa é aquele valor que mais se aproxima do valor real, podendo se considerar uma pequena margem de erro (Ɛ).
I. Lançando Moedas
A expressão Cara ou Coroa, tem a ver com as antigas moedas portuguesas, que numa face tinham uma cara e na outra uma coroa. Nestas antigas moedas, a cara representava o valor da moeda, enquanto a coroa fazia menção à Coroa portuguesa. Assim, hoje, continuamos a considerar cara o valor nominal da moeda; enquanto coroa, a outra face — geralmente contendo um brasão ou simbologias diversas sobre o país de origem, ou até mesmo um rosto. Como as moedas de Real têm uma cara em um dos lados, no Brasil é mais comum chamar este lado de cara e o lado que mostra o valor da moeda de coroa.
Então, com uma moeda em mãos, registrar na tabela abaixo os resultados dos lançamentos solicitados.
Etapas Lançamentos Quantidade de cara Quantidade de coroa Relação entre o número de cara
pelo número de lançamentos
1º 5 2º 10
3º 50
4º 100
a) A partir dos resultados obtidos, determine a relação entre o número da quantidade de “cara” pelo número de lançamentos realizados.
b) O que podemos constatar?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Frequência relativa
Consideramos o experimento que consiste em lançar uma mesma moeda n vezes.
Seja m o número de vezes em que ocorre cara.
Definimos frequência relativa do evento cara como sendo:
Notamos que
Se aumentarmos o número de tentativas do experimento, a f(c) tende a se estabilizar em torno de ½ . Graficamente como isso pode ser representado?
Este fato é muito importante, pois quando dissermos que a probabilidade de um evento A é p(A), estamos dizendo que para um número bastante expressivo de tentativa de um experimento, a f(A) tende a se estabilizar em torno de P(A).
II. Estimando quantidades
Com um pote contendo uma coleção de objetos previamente contados, circule pela sala de aula ou pela escola coletando o maior número de estimativas possíveis.
Procedimento:
1) Após escolher uma coleção de objetos (exemplo: bolinhas de gude, macarrão, moedas, balas entre outros), colocar em um pote transparente, contar e conferir a quantidade nele colocada.
2) Lacrar o pote e circular pela sala e questionar individualmente “qual a quantidade de objetos no pote”.
3) Anotar sistematicamente ou distribuir filipetas para que cada participante escreva a quantidade que estimou.
4) Após dos dados coletados:
a) Fazer a somatória destes dados.
b) Dividir pela quantidade de entrevistados.
5) Com base nesse resultado encontrado responder:
a) Com todas as estimativas listadas e o resultado encontrado no item anterior faça um ranking dos três valores que mais se aproximam da quantidade previamente encontrada pelo grupo.
b) Esse experimento pode servir para fundamentar algum conteúdo matemático?
Somatória, média aritmética, cálculos de estimativa, frequência relativa, estatística.
Médias
Média aritmética: um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro.
x – m = m – y → mA = x + y
Média Geométrica: um número é a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual a do primeiro para o segundo.
x/m = m/ y → mG = √xy
Média Harmônica: um número é a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual a quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro.
x –m = m - y → mH = 2x y
x y x + y
A ordenação entre as médias citadas acima é:
mH ≤ mG ≤ mA
Para refletir:
Se compararmos este experimento com o experimento anterior podemos intuitivamente fazer alguma conclusão? Se a resposta for afirmativa, justifique a resposta.
Ambos os experimentos, mesmo sendo completamente diferentes, contribuem para o desenvolvimento do conceito de frequência relativa.
Conclusão
Considerando que um experimento possa dar “certo” ou “errado”, ou seja, se ao final não conseguimos concluir o que havíamos planejado, é importante considerar a possibilidade de retomar ou mesmo dar a continuidade ao experimento, nesse caso, com um grupo maior, para que possa encontrar uma quantidade que seja ideal para estabilizar em torno do resultado esperado.
Sugerir um registro da realização do experimento e uma avaliação.
Na escola, o professor poderá realizar as atividades em grupo, em que cada grupo poderá ter o seu pote, com os seus objetos e fazer uma comparação.
Referencial Bibliográfico
CACHAPUZ, António; GIL-PEREZ, Daniel; CARVALHO, Anna Maria Pessoa de. A necessária renovação do ensino das ciências. São Paulo: Editora Cortez, 2005.
GALIAZZI, Maria do Carmo; ROCHA, Jusseli Maria de Barros; SCHMITZ, Luiz Carlos. Objetivos das atividades experimentais no ensino médio: a pesquisa coletiva como modo de formação de professores de ciências. Ciência & Educação, São Paulo, v. 7, n. 2, p.249-263, 2001.
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica: Probabilidade. 3. ed. São Paulo: LTCE, 1983.
SOUSA, Raquel Cupolillo Simões de; Portal do Professor. Lançando Moedas e Explorando a Árvore das Possibilidades da Ocorrência de Cara ou de. 2011. Disponível em:
TV, Univesp. Matemática - Aula 3 - Médias para todos os fins: significado, relações, propriedades. 2014. Disponível em:
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